Python + Opycleid でコード進行を分析する（ネオ・リーマン理論）

概要

Python ライブラリの Opycleid を使用して, コード進行からネオ・リーマン理論の変換を表示するプログラムを実装します.

ネオ・リーマン理論とは

1980年代以降, アメリカの研究者らを中心に形作られてきた, 比較的新しい音楽理論です.
一連の研究をゆるく包括する概念のため, 明確に定義するのは難しいですが, コードの機能や進行ではなく, コード間の相対的な変換 (Transformation) に着目する点を特徴としています.

例えば, C → Am というコード進行は, ネオ・リーマン理論的な見方をすると Cに変換Rが作用してAmになる みたいな感じです.

ここでは詳細は割愛させていただき, 参考リンクのみの記載とします.

ネオ・リーマン理論 - Wikipedia
An introduction to neo-Riemannian theory (1)
An introduction to neo-Riemannian theory (6)
ネオ・リーマン理論のリーマン受容にみる概念変容
SoundQuest - ネオ・リーマン理論❶ PLR操作とトネッツ

Opycleid とは

音楽理論研究者の Alexandre Popoff 氏が開発した Python 用のライブラリです.

コードに限らず音楽的オブジェクト(musical object) 一般に対して, オブジェクト間の変換を定義し, 分析することができます.

今回は, その中の一機能を利用して, 24種類の長短三和音の間のネオ・リーマン理論的な分析を行います.

サイト	URL
Github	https://github.com/AlexPof/opycleid
公式ドキュメント	https://alexpof.github.io/opycleid/
チュートリアル	https://alexpof.github.io/opycleid/gettingstarted/

(チュートリアルが分かりやすいので, RPL変換と Python の知識がある方はこちらを直接読んでも大丈夫と思います)

環境構築

Python3 と NumPy が動いて Opycleid をインストールできるなら何でも良いのですが, 今回は Google Colaboratory を使用します(Googleアカウントが必要).

colab.research.google.com

なお動作確認時のバージョンは下記の通りです.
Python: 3.10.11
NumPy: 1.22.4
Opycleid: 0.4.2

1. ノートブックの新規作成 で, 適当なノートブックを作成します.
2. !pip install opycleidを実行し, Opycleid をインストールします (Successfully installed opycleid が表示されればOK).

以上で準備完了です. なお, 無料プランでは一定時間でセッションが切断され環境もリセットされるため, その都度 再インストールが必要です.

2つのコード間の変換を求める

「+ コード」をクリックし, 下記を挿入します.

from opycleid.musicmonoids import PRL_Group

_monoid = PRL_Group()
print(_monoid.get_operation('C_M', 'C_m')) # P
print(_monoid.get_operation('C_M', 'A_m')) # R
print(_monoid.get_operation('C_M', 'E_m')) # L

実行すると, 各コード間の変換を表す記号が表示されます.

['P']
['R']
['L']

上記の例では, opycleid.musicmonoids 名前空間に予め用意されている PRL_Group クラスの get_operation() メソッドを使用して, ネオ・リーマン理論の最も基本的な変換である「P」「R」「L」によってコードがどのように変換されるかを分析しています.
get_operation(変換前のコード名, 変換後のコード名)で, 変換を表す記号のリストを取得できます.

PRLを組み合わせたもっと複雑な変換も分析できます.

print(_monoid.get_operation('C_M', 'Bb_m')) # RLRLP

実行結果：

['RLRLP']

使用可能なコード名の一覧は下記で表示できます（異名同音を無視した24種類）.

for obj in PRL_Group().get_objects():
  print(obj[1].get_elements())

実行結果：

['A_M', 'A_m', 'B_M', 'B_m', 'Bb_M', 'Bb_m', 'C_M', 'C_m', 'Cs_M', 'Cs_m', 'D_M', 'D_m', 'E_M', 'E_m', 'Eb_M', 'Eb_m', 'F_M', 'F_m', 'Fs_M', 'Fs_m', 'G_M', 'G_m', 'Gs_M', 'Gs_m']

コードを変換する

「+ コード」をクリックし, 下記を挿入します.

from opycleid.musicmonoids import PRL_Group

_monoid = PRL_Group()
print(_monoid.apply_operation('P','C_M')) # C_m
print(_monoid.apply_operation('R','C_M')) # A_m
print(_monoid.apply_operation('L','C_M')) # E_m
print(_monoid.apply_operation('RLRLP','C_M')) # Bb_m

実行すると, 各変換後のコード名が表示されます

['C_m']
['A_m']
['E_m']
['Bb_m']

apply_operation(作用させる変換, コード名)で, 変換後のコード名を取得できます.

使用可能な変換の一覧は下記で表示できます.

for m in PRL_Group().get_morphisms():
  print(m[0])

実行結果：

L
LP
LR
LRL
LRLP
P
PL
PLP
PLRL
PR
PRL
PRP
R
RL
RLP
RLR
RLRL
RLRLP
RP
RPL
RPR
RPRL
RPRP
id_.

注1：結果が同じとなる変換は, 代表する一つの名称のみ定義されています（例：PLPとLPLは同じ結果となるので, PLPのみ定義され, LPLは使用できない）.
注2：id_.は恒等射（自分自身への変換, 何も変換しない）を表します.

コード進行から変換を求める

一つずつコード間の変換を求めるのは面倒なので, コード進行をリストで渡すと, まとめて分析してくれるプログラムを実装してみます.
「+ コード」をクリックし, 下記を挿入します.

from opycleid.musicmonoids import PRL_Group

def print_operations(monoid, elms):
  elm_pairs = list(zip(elms, elms[1:] + elms[:1]))
  print('-----------------------')
  for pair in elm_pairs:
    ops = monoid.get_operation(pair[0], pair[1])
    print(f'{pair[0]:4} -> {pair[1]:4} : {"".join(ops):5}')

_monoid = PRL_Group()
print_operations(_monoid, ['C_M', 'A_m', 'D_m', 'G_M'])

実行すると, いわゆる1625進行の隣接するコード間の変換が全て表示されます（循環進行とみなして, 末尾から先頭への変換も表示します）.

-----------------------
C_M  -> A_m  : R    
A_m  -> D_m  : RL   
D_m  -> G_M  : PRL  
G_M  -> C_M  : LR 

コード進行から変換を求める（変換名の置換）

ネオ・リーマン理論では, RPL 以外の特徴的な変換に対して固有の名称が付けられているものがあります.
先ほどのプログラムを少し改造して, 固有の変換名へ置換して表示するようにしてみます.

from opycleid.musicmonoids import PRL_Group

def print_operations(monoid, elms):
  elm_pairs = list(zip(elms, elms[1:] + elms[:1]))
  print('-----------------------')
  for pair in elm_pairs:
    ops = monoid.get_operation(pair[0], pair[1])
    print(f'{pair[0]:4} -> {pair[1]:4} : {conv_op("".join(ops)):8}')

def conv_op(op):
  match op:
    case 'PLP':
      return 'H' # Hexatonic Pole
    case 'PRL':
      return 'F' # Far Fifth
    case 'RLP':
      return 'N' # Nebenverwandt (Near Fifth)
    case 'RPL':
      return 'S' # Slide
    case 'RPR':
      return 'near-T6' # Near T6
    case _:
      return op

_monoid = PRL_Group()
print_operations(_monoid, ['C_M', 'Gs_m', 'Cs_M', 'Fs_m', 'F_M', 'B_m'])

実行結果：

-----------------------
C_M  -> Gs_m : H       
Gs_m -> Cs_M : F       
Cs_M -> Fs_m : N       
Fs_m -> F_M  : S       
F_M  -> B_m  : near-T6 
B_m  -> C_M  : LRL  

N（トニック→サブドミナントマイナーを一般化したような変換）や, S（3rdを保持したままルートと5thが半音ズレる）などの変換を表示できるようになります.

注： Opycleid は自分でオリジナルの MonoidAction を定義することができるので, 上記のような細工なしでも自由な名称を付けることが可能です. MonoidAction の定義方法はチュートリアルを参照.

複数のコード進行を比較し, コードを一箇所変えるとどうなるか観察してみると面白いかもしれません.

print_operations(_monoid, ['F_M', 'E_m', 'A_m'])
print_operations(_monoid, ['F_M', 'E_M', 'A_m'])

-----------------------
F_M  -> E_m  : LRL     
E_m  -> A_m  : RL      
A_m  -> F_M  : L       
-----------------------
F_M  -> E_M  : PLRL    
E_M  -> A_m  : N       
A_m  -> F_M  : L     

最後に

opycleid.musicmonoids名前空間には他にも, ピッチクラス・セットの移高(Transposition)と転回(Inversion)で三和音を変換する TI_Group_Triadsクラスや, 増三和音を交えた変換に対応する UPL_Monoidクラスなどが用意されています. もちろんオリジナルの変換を定義することも可能です.

ネオ・リーマン理論に興味を持たれた方は, Alexandre Popoff 氏のブログも是非チェックしてみて下さい.
以上

ピッチクラス・セット理論 覚書

このページは無限にサイレント修正されます.
適切に勉強したい方は, 下記の書籍等を当たってください.

• The Structure of Atonal Music

  The Structure of Atonal Music

• Basic Atonal Theory

  Basic Atonal Theory

• Introduction to Post-Tonal Theory

  Introduction to Post-Tonal Theory

• Elliott Carter Harmony Book

  Elliott Carter Harmony Book

• 無調音楽の構造 ピッチクラス・セットの基本的な概念とその考察
  

  無調音楽の構造: ピッチクラス・セットの基本的な概念とその考察

• ハーモニー探究の歴史 思想としての和声理論 - 第8章　音を秩序づける ポスト調性時代のハーモニー

  ハーモニー探究の歴史 思想としての和声理論

前書き

ピッチクラス・セット理論 ( Musical set theory ) は, 文献や音楽理論家ごとに使用する用語・記号等が異なります. 下記は代表的な音楽理論家, 及びその主著

• Allen Forte - The Structure of Atonal Music (1973)
• John Rahn - Basic Atonal Theory (1980)

以下, 単にForte, Rahnと書いた場合は, 上記を示します.

ピッチクラス (Pitch class)

同じ音名を与えられている, nオクターブ離れた音の集合(nは整数).
0〜11の整数で表記する (Integer notation).
10と11は, AとBで表記する場合がある.

音名	ピッチクラス
C	0
C♯/D♭	1
D	2
D♯/E♭	3
E	4
F	5
F♯/G♭	6
G	7
G♯/A♭	8
A	9
A♯/B♭	10 or A
B	11 or B

ピッチクラス空間 (Pitch class space)

ピッチクラスの関係をモデル化したもの. ピッチクラスを 0, 1, ... 10, 11 と円型に並べて表す. 11の次は, また始点の0へと戻る.

順序付けされたピッチクラス間隔 (Ordered pitch-class interval)

2つのピッチクラス間の, 順序を考慮した間隔.

• 例：11から見て7への間隔は+8

  →               →
 11 0 1 2 3 4 5 6 7

• 例：2から見て10への間隔は-4

  ←        ←
 10 11 0 1 2

ピッチクラス・セット (Pitch-class sets)

ピッチクラスで構成される集まり（以下, PCセット ）. 重複するピッチクラスは除かれる.

• 例：Cメジャーコード

構成音	PCセット
C E G	[0, 4, 7]

• 例：ダイアトニックスケール

構成音	PCセット
C D E F G A B	[0, 2, 4, 5, 7, 9, B]

基数 (Cardinal Number)

PCセットに含まれるピッチクラスの個数.

• 例：[0, 1, 2, 3] → 基数は4
• 例：[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B] → 基数は12

Mod 12

整数 aとbについて, それぞれをnで割った余りが等しいことを

a ≡ b (mod n)

と表記する（合同式）.

ピッチクラス空間は 0 〜 11 の中で閉じているため, mod 12 の合同式として計算が行われる.

移置 (Transposition)

PCセット内の全てのピッチクラスに, 任意の整数を加算する操作.
整数nを加算することを T_n と表記する.

• 例：[0, 1, 2]のT₁₁

0 + 11 = 11
1 + 11 = 12 ≡ 0 (mod 12)
2 + 11 = 13 ≡ 1 (mod 12)
より

→ [B, 0, 1]

• 例：[0, 1, 2] の T₀ 〜 T₁₁

Tn	PCセット
T0	[0, 1, 2]
T1	[1, 2, 3]
T2	[2, 3, 4]
T3	[3, 4, 5]
T4	[4, 5, 6]
T5	[5, 6, 7]
T6	[6, 7, 8]
T7	[7, 8, 9]
T8	[8, 9, A]
T9	[9, A, B]
T10	[A, B, 0]
T11	[B, 0, 1]

転回 (Inversion)

PCセット内の全てのピッチクラスを, 指定した対称軸で反転させる操作.
0-6を結ぶ線を対称軸として転回することを I と表記する.

• 例：[0, 1, 4, 6]の I

 0 → 0
 1 → 11
 4 → 8
 6 → 6
 より

 → [0,B,8,6]

対称軸は12種類あり, それぞれの対称軸による転回を I₀ 〜 I₁₁ と表記する.

対象軸	In
0 - 6	I0
0,1 - 6,7	I1
1 - 7	I2
1,2 - 7,8	I3
2 - 8	I4
2,3 - 8,9	I5
3 - 9	I6
3,4 - 9,10	I7
4 - 10	I8
4,5 - 10,11	I9
5 - 11	I10
5,6 - 11,0	I11

T_nI

転回(Inversion) と 移置(Transposition) の合成.
転回(I) したあと, nだけ 移置(T_n) する操作.

また, I_n と T_nI は同値.

Multiplication

PCセットに含まれる全てのピッチクラスを, 指定した値で乗算(mod 12)する操作. *1
n を乗算する操作を M_n と表記する.

• 例：[0, 1, 4, 6] の M₅

0 × 5 = 0
1 × 5 = 5
4 × 5 = 20 ≡ 8 (mod 12)
6 × 5 = 30 ≡ 6 (mod 12)

→ [0,5,6,8]

また, M₁₁ と I は同値.

M

M₅を単に M と表記する.

MI

転回(Inversion) と Multiplication 5(M₅) の合成.
転回(I) したあと5を乗算する(M)操作を表す.

また, MI と M₇ は同値.

I, M, MI の関係を図示すると,

• m2 - 短2度圏
• P4 - 完全4度圏
• P5 - 完全5度圏
• M7 - 長7度圏

の変換と捉えることができる.

正規の順序 (Normal order)

もしくは Normal form.
PCセットを並び替えて, 最も"コンパクト"になる場合の順序.

正規の順序, 原型(後述)を求めるアルゴリズムは Forte と Rahn で異なる.
どちらのアルゴリズムもほぼ同一の結果となるが, 一部のPCセットでは原型が異なる.
(これはアルゴリズムに誤りがあるというわけではなく, "コンパクト"の解釈の違いによるもの)

正規の順序の求め方 パターン1：間隔の比較が1回で完了する場合

例 [0,1,9,8]

1. PCセットを昇順に並べ替える

 [0,1,9,8] → [0,1,8,9]

2. 全てのローテーションを列挙する(基数4なので4種類)

 a. [0,1,8,9]
 b. [1,8,9,0]
 c. [8,9,0,1]
 d. [9,0,1,8]

3. 最左と最右の間隔を求める

 a. 9 - 0 = 9
 b. 0 - 1 = -1 ≡ 11 (mod 12)
 c. 1 - 8 = -7 ≡ 5 (mod 12)
 d. 8 - 9 = -1 ≡ 11 (mod 12)

4. 間隔が最小になる(最もコンパクト)なものが, 
   正規の順序

 → c. [8,9,0,1]  

正規の順序の求め方 パターン2：間隔の比較が2回以上必要な場合

例 [0,5,1,8]

1. PCセットを昇順に並べ替える

[0,5,1,8] → [0,1,5,8]

2. 全てのローテーションを列挙する

 a. [0,1,5,8]
 b. [1,5,8,0]
 c. [5,8,0,1]
 d. [8,0,1,5]

3. 最左と最右の間隔を求める

 a. 8 - 0 = 8
 b. 0 - 1 = -1 ≡ 11 ( mod 12 )
 c. 1 - 5 = -4 ≡ 8 ( mod 12 )
 d. 5 - 8 = -3 ≡ 9 ( mod 12 )


4. 間隔が最小になるものが2つあるため比較を続ける
   ここから Forte と Rahn でアルゴリズムが異なる

 a. [0,1,5,8]
 c. [5,8,0,1] 

[ Forte のアルゴリズム]

5. 最左と「最左から2番目」の間隔を比較する

 a. 1 - 0 = 1
 c. 8 - 5 = 3 

6. 比較の結果, 間隔が最小のものが複数ある場合は
   最左と「最左から3番目」を比較
   最左と「最左から4番目」を比較
       ：
   と間隔が最小のものが1つになるまで繰り返す

7. 間隔の比較が最小になるものが, 正規の順序
   → a. [0,1,5,8]

[ Rahn のアルゴリズム]

5'. 最左と「最右から2番目」の間隔を比較する

 a. 5 - 0 = 5
 c. 0 - 5 = -5 ≡ 7 ( mod 12 )

6'. 比較の結果, 間隔が最小のものが複数ある場合は
   最左と「最右から3番目」を比較
   最左と「最右から4番目」を比較
       ：
   と間隔が最小のものが1つになるまで繰り返す

7'. 間隔の比較が最小になるものが, 正規の順序
   → a. [0,1,5,8]

正規の順序の求め方 パターン3：間隔の比較で決定できない場合

例 [0, 8, 4]

1. PCセットを昇順に並べ替える

 [0,8,4] → [0,4,8]

2. 全てのローテーションを列挙する

 a. [0,4,8]
 b. [4,8,0]
 c. [8,0,4]

3. 最左と最右の間隔を求める

 a. 8 - 0 = 8
 b. 0 - 4 = -4 ≡ 8 ( mod 12 )
 c. 4 - 8 = -4 ≡ 8 ( mod 12 )

4. 間隔が最小になるものが3つあるため比較を続ける
   （基数3で Forte, Rahn どちらのアルゴリズムも
   計算過程が一致するため, 以降はまとめて記述）

5. 最左と「最左(最右)から2番目」の間隔を比較する

 a. 4 - 0 = 4
 b. 8 - 4 = 4
 c. 0 - 8 = -8 ≡ 4 ( mod 12 )

6. 全ての間隔を比較しても, 
   間隔が最小のものを1つに絞り込めない場合は, 
   最小ピッチクラスから始まるものを正規の順序とする

 → a. [0,4,8]

補足：Forte と Rahn のアルゴリズムで原型が異なるPCセットの一覧

Forte number	Forte の場合	Rahn の場合
5-20	[0, 1, 3, 7, 8]	[0,1,5,6,8]
6-Z29	[0, 1, 3, 6, 8, 9]	[0, 2, 3, 6, 7, 9]
6-31	[0, 1, 3, 5, 8, 9]	[0, 1, 4, 5, 7, 9]
7-Z18	[0, 1, 4, 5, 6, 7, 9]	[0, 2, 3, 4, 5, 8, 9]
7-20	[0, 1, 2, 5, 6, 7, 9]	[0, 1, 2, 4, 7, 8, 9]
8-26	[0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, A]	[0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, A]

原型 (Prime form)

任意のPCセットは移置T_nと転回Iの操作によって24種類に変換される. この中で最も"標準的"な1種類を代表のPCセットとして選び, 24種類全体の識別子として用いる. これを 原型(Prime form) と呼ぶ.

• 例：[0, 1, 2, 6]をT_nとIで変形

No.	操作	PCセット(正規の順序)
1	T0	[0, 1, 2, 6]
2	T1	[1, 2, 3, 7]
3	T2	[2, 3, 4, 8]
4	T3	[3, 4, 5, 9]
5	T4	[4, 5, 6, A]
6	T5	[5, 6, 7, B]
7	T6	[6, 7, 8, 0]
8	T7	[7, 8, 9, 1]
9	T8	[8, 9, A, 2]
10	T9	[9, A, B, 3]
11	T10	[A, B, 0, 4]
12	T11	[B, 0, 1, 5]
13	T0I	[6, A, B, 0]
14	T1I	[7, B, 0, 1]
15	T2I	[8, 0, 1, 2]
16	T3I	[9, 1, 2, 3]
17	T4I	[A, 2, 3, 4]
18	T5I	[B, 3, 4, 5]
19	T6I	[0, 4, 5, 6]
20	T7I	[1, 5, 6, 7]
21	T8I	[2, 6, 7, 8]
22	T9I	[3, 7, 8, 9]
23	T10I	[4, 8, 9, A]
24	T11I	[5, 9, A, B]

• 原型の求め方 例：[1,8,7,9]

1. 正規の順序 ( Normal order ) を求める

 [1,8,7,9] → [7,8,9,1] 

2. 0から始まるように移置 ( Transposition ) する

 [7,8,9,1]をT_5で移置 → [0,1,2,6]

3. 元のPCセットを転回し, 1,2の手順を繰り返す
 
 [1,8,7,9]をIで転回 → [B,4,5,3]
 
 [B,4,5,3]を正規の順序へ → [B,3,4,5]

 [B,3,4,5]をT_1で移置 → [0,4,5,6]

4. 2と3で求めたPCセットを比較して, 
   より左に詰められている ( packed ) 方が原型

 0 1 2 _ _ _ 6 _ _ _ _ _ ← 左詰め
 0 _ _ _ 4 5 6 _ _ _ _ _ 

 → [0,1,2,6]が原型

Forte number

原型に名称を割当てる方法の一種で, 「(基数) - (連番)」の形で表記される.

• 例：[0,1,3,5,6,8,A] → 7-35

また, Z-relation (後述)を持つ原型は, 「(基数) - Z(連番)」の形で表記される.

• 例：[0,1,4,6] → 4-Z15

全ての原型と Forte number のリストは下記を参照.

List of pitch-class sets(Wikipedia)

A Brief Introduction to Pitch-Class Set Analysis : Table of pc set classes

Forte numberの決定方法

Forte number は下記の手順で決定される

1. 原型を基数ごとのグループに分類する.
2. 各グループ内を「Interval vectorの降順」
   で並び替える.  
3. Z-relationの対を持つ原型は, 
   より「左詰め」の方をそのままの位置に, 
   他方をリストの最後尾へ移動する.  

例：基数4の原型の順序

4-1   [0,1,2,3] <321000>
4-2   [0,1,2,4] <221100>
4-3   [0,1,3,4] <212100>
4-4   [0,1,2,5] <211110>
4-5   [0,1,2,6] <210111>
4-6   [0,1,2,7] <210021>
4-7   [0,1,4,5] <201210>
4-8   [0,1,5,6] <200121>
4-9   [0,1,6,7] <200022>
4-10  [0,2,3,5] <122010>
4-11  [0,1,3,5] <121110>
4-12  [0,2,3,6] <112101>
4-13  [0,1,3,6] <112011>
4-14  [0,2,3,7] <111120>
4-Z15 [0,1,4,6] <111111> ← そのままの位置
4-16  [0,1,5,7] <110121>
4-17  [0,3,4,7] <102210>
4-18  [0,1,4,7] <102111>
4-19  [0,1,4,8] <101310>
4-20  [0,1,5,8] <101220>
4-21  [0,2,4,6] <030201>
4-22  [0,2,4,7] <021120>
4-23  [0,2,5,7] <021030>
4-24  [0,2,4,8] <020301>
4-25  [0,2,6,8] <020202>
4-26  [0,3,5,8] <012120>
4-27  [0,2,5,8] <012111>
4-28  [0,3,6,9] <004002>
4-Z29 [0,1,3,7] <111111> ← 最後尾へ移動

補足：PCセットの計算ツール

リンク	説明
Pitch Class Set Calculator	Androidアプリ. 設定で Forte, Rahn のアルゴリズムを切替可能.
Music Calculators	Jeremiah Goyette氏のWebサイト. 非常に多機能かつ高機能な各種計算ツール.

インターバルクラス (Interval class)

順序付けされないピッチクラス間隔 (Unordered pitch-class interval) はインターバルクラスと呼ばれる.

0 ~ 11を円形に並べたとき,
2つのピッチクラスの「右回りの間隔」と「左回りの間隔」を比較し, 小さい方をインターバルクラスとする.

• 例：0と5のピッチクラス間隔は右回りの方が小さいので, インターバルクラス = 5

インターバルクラス	対応するピッチクラス間隔
1	1 and 11
2	2 and 10
3	3 and 9
4	4 and 8
5	5 and 7
6	6

Interval vector

もしくは Interval-class vector.
PCセットに含まれる全てのインターバルクラス1 ~ 6について, それぞれの個数を数え上げ列挙したもの. *2

• 例：[0,1,3,5,6,8,A]

1. PCセットに含まれる全てのインターバルクラスを列挙.

 0と1の間 → 1
 0と3の間 → 3
 ：
 6とAの間 → 4
 8とAの間 → 2

 0 1 3 5 6 8 A
 -------------
  1 2 2 1 2 2
   3 4 3 3 4
    5 5 5 5
     6 5 5
      4 3
       2

2. インターバルクラス(ic)1 ~ 6の個数を数え上げる.

 ic1 × 2
 ic2 × 5
 ic3 × 4
 ic4 × 3
 ic5 × 6
 ic6 × 1

3. 左からic1 ~ ic6の順に並べる.

 ⟨254361⟩

Z-relation

Interval vector が同一のPCセットが, 転回関係にも移置関係にもないとき, この関係を Z-relation と呼ぶ.

• 例：4-Z15 と 4-Z29 は Z-relation

Forte number	原型	Interval vector
4-Z15	[0, 1, 4, 6]	<111111>
4-Z29	[0, 1, 3, 7]	<111111>

12平均律のPCセットにおいて Z-relation は常に対 ( pair ) で現れるが, より大きい平均律(16EDOなど)では3つ組以上の Z-relation があることが知られている.

Complement

あるPCセット X に含まれない全てのピッチクラスで構成されたPCセット Y があるとき, Y は X の Complement である.

• 例：[0,1,2,3,4,5,6,7]の Complement は[8,9,A,B]である

サブセット (Subset)

あるPCセット X, Y に関して, X が Y に包括されるとき, X は Y のサブセットである.

• 例：[0,1,2]は[0,1,2,5]のサブセットである

スーパーセット (Superset)

あるPCセット X, Y に関して, X が Y に包括されるとき, Y は X のスーパーセットである.

• 例：[0,1,2,5]は[0,1,2]のスーパーセットである

Common-tone theorem

あるPCセット X の Interval vector と, X をnだけ移置したPCセット T_n(X) と X の共通音(共通ピッチクラス )の関係を表す定理.

PCセット X の Interval vector が<ic₁ ic₂ ic₃ ic₄ ic₅ ic₆>のとき, X と T_n(X) の共通音の個数との関係は

X と Tn(X)	共通音の個数
X と T1(X)	ic1 個
X と T2(X)	ic2 個
X と T3(X)	ic3 個
X と T4(X)	ic4 個
X と T5(X)	ic5 個
X と T6(X)	ic6 × 2 個
X と T7(X)	ic5 個
X と T8(X)	ic4 個
X と T9(X)	ic3 個
X と T10(X)	ic2 個
X と T11(X)	ic1 個

直感的には, Interval vector は和音を平行移動したときの共通音の個数を表している, と捉えることができる.

• 例：Cメジャースケールを平行移動(転調)した場合の共通音
  Cメジャースケール [0, 2, 4, 5, 7, 9, B] <254361>

Key	PCセット	Key Cとの共通音数
C♯/D♭	[1, 3, 5, 6, 8, A, 0]	2個
D	[2, 4, 6, 7, 9, B, 1]	5個
D♯/E♭	[3, 5, 7, 8, A, 0, 2]	4個
E	[4, 6, 8, 9, B, 1, 3]	3個
F	[5, 7, 9, A, 0, 2, 4]	6個
F♯/G♭	[6, 8, A, B, 1, 3, 5]	2個
G	[7, 9, B, 0, 2, 4, 6]	6個
G♯/A♭	[8, A, 0, 1, 3, 5, 7]	3個
A	[9, B, 1, 2, 4, 6, 8]	4個
A♯/B♭	[A, 0, 2, 3, 5, 7, 9]	5個
B	[B, 1, 3, 4, 6, 8, A]	2個

ダイアトニックスケール(7-35)にインターバルクラス1は2個含まれるので, インターバルクラス1の移置である T₁ (半音上に転調)と T₁₁ (半音下に転調)の場合, 共通音数が2個であることが読み取れる.

いわゆる関係調であるF,Gは共通音が多く(6個), 一方で遠隔調であるC♯,F♯,Bは共通音が少ない(2個)ことが読み取れる.

Hexachord theorem

12平均律において, 基数6のPCセット A とその Complement の A_c が異なる原型になるとき, A と A_c は Z-relation である.

• 例：6-Z6 [0,1,2,5,6,7]の Complement を原型にすると6-Z38 [0,1,2,3,7,8] → Z-relation である

• 例：6-1 [0,1,2,3,4,5]の Complement を原型にすると6-1 [0,1,2,3,4,5] → 異なる原型ではない

All-interval tetrachord

全てのインターバルクラス1 ~ 6を1つずつ含む最小基数のPCセット.
全ての音程(interval)を内包する四和音(tetrachord)の意.
下記の2種類で, それらは Z-relation である.

• 4-Z15 [0,1,4,6] <111111>
• 4-Z29 [0,1,3,7] <111111>

All-trichord hexachord

基数3の全てのPCセットの原型12種類(3-1 ~ 3-12)をサブセットとして内包する最小基数のPCセット.
全ての三和音(trichord)を内包する六和音(hexachord)の意.
下記の1種類.

• 6-Z17 [0,1,2,4,7,8] <322332>

*1: ピエール・ブーレーズがLe Marteau sans maîtreで用いた "Pitch multiplication" とは異なる.

*2: Robert Morrisなどは Interval vectorにインターバルクラス0も含めている.